高校计算机教材

计算机图形学

复习提要、习题解答、试题分析

Windows C 图形程序设计

2003．7．1．

第一章 绪论

概念：计算机图形学、图形、图像、点阵法、参数法、

图形的几何要素、非几何要素、数字图像处理；

计算机图形学和计算机视觉的概念及三者之间的关系；

计算机图形系统的功能、计算机图形系统的总体结构。

第二章 图形设备

图形输入设备：有哪些。

图形显示设备：CRT的结构、原理和工作方式。

彩色CRT：结构、原理。

随机扫描和光栅扫描的图形显示器的结构和工作原理。

图形显示子系统：分辨率、像素与帧缓存、颜色查找表等基本概念，分辨率的计算

第三章 交互式技术

什么是输入模式的问题，有哪几种输入模式。

第四章 图形的表示与数据结构

自学，建议至少阅读一遍

第五章 基本图形生成算法

概念：点阵字符和矢量字符；

直线和圆的扫描转换算法；

多边形的扫描转换：有效边表算法；

区域填充：4／8连通的边界／泛填充算法；

内外测试：奇偶规则，非零环绕数规则；

反走样：反走样和走样的概念，过取样和区域取样。

5.1.2 中点 Bresenham 算法（P109）

5.1.2 改进 Bresenham 算法（P112）

习题解答

习题5 （P144）

5.3 试用中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且大于1的直线段绘制过程

（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。（P111）

解： k<=-1  |△y|/|△x|>=1  y为最大位移方向

故有 

构造判别式： 

推导d各种情况的方法(设理想直线与y=yi+1的交点为Q)：

所以有： y_Q-kx_Q-b=0  且 y_M=y_Q

     d=f(x_M-kx_M-b-(y_Q-kx_Q-b)=k(x_Q-x_M)

所以，当k<0，

d>0时，M点在Q点右侧（Q在M左），取左点  P_l(x_i-1,y_i+1)。

d<0时，M点在Q点左侧（Q在M右），取右点  Pr(x_i,y_i+1)。

d=0时，M点与Q点重合（Q在M点），约定取右点 Pr(x_i,y_i+1) 。

所以有

递推公式的推导：

   d₂=f(x_i-1.5,y_i+2)

当d>0时,

   d₂=y_i+2-k(x_i-1.5)-b  增量为1+k

     =d₁+1+k

当d<0时, 

   d₂=y_i+2-k(x_i-0.5)-b  增量为1

     =d₁+1

当d=0时,

5.7 利用中点 Bresenham 画圆算法的原理，

 推导第一象限y＝0到y＝x圆弧段的扫描转换算法

（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。（P115）

解：在x=y到y=0的圆弧中，（R,0）点比在圆弧上，算法从该点开始。

最大位移方向为y，由（R,0）点开始，y渐增，x渐减，每次y方向加1，x方向减1或减0。

设P点坐标（xi,yi）,下一个候选点为右点Pr（xi,yi+1）和左点Pl（xi-1,yi+1），

取Pl和Pr的中点M（xi-0.5,yi+1），设理想圆与y=yi+1的交点Q，

构造判别式：

     d=f(x_M,y_M)=(x-0.5)²+(y_i+1)²+R²

当d<0时，M在Q点左方（Q在M右），取右点Pr（xi,yi+1）

当d>0时，M在Q点右方（Q在M左），取左点Pl（xi-1,yi+1）

当d=0时，M与Q点重合，约定取左点Pl（xi-1,yi+1）

所以有：

推导判别式：

d>=0时，取左点Pl（xi-1,yi+1），下一点为（xi-1,yi+2）和（xi-2,yi+2）

d<0时，取右点Pr（xi,yi+1），下一点为（xi,yi+2）和（xi-1,yi+2）

     d₀=f(R-0.,1)=R²-R+0.25+1-R^2=1.25-R

5.11 如图5－59所示多边形，若采用扫描转换算法（ET边表算法）进行填充，

试写出该多边形的边表ET和当扫描线Y＝4时的有效边表AET（活性边表）。（P125）

解：

 1）边表ET表 

 2）y＝4时的有效边表AET

注意：水平线不用计算。

5.22 构造两个例子，一个是4－连通图，其边界是8－连通的，

另一个是8－连通图，其边界是4－连通的。（P132）

解：

4-连通区域          8－连通区域

第六章 二维变换及二维观察

概念：齐次坐标，窗口，视区，二维观察流程，

字符裁减的三种策略，外部裁减

计算：二维几何变换

直线裁减：区域编码法和梁友栋算法

多边形裁减：逐边裁减法和双边裁减法

6.1.3 二维变换矩阵(P147)

6.2.3 旋转变换(P149)

6.2.5 相对任一参考点的二维几何变换(P155)

例如：相对(xf,yf)点的旋转变换

习题6 （P177）

6.7 求四边形 ABCD 绕 P(5,4)旋转45度的变换矩阵和端点坐标，

画出变换后的图形。(P147 P148 P155)

解：变换的过程包括：

 1)平移：将点P(5,4)平移至原点(0,0)，

 2)旋转：图形绕原点（0点）旋转45度，

 3)反平移：将P点移回原处(5,4)，

 4)变换矩阵：平移—旋转—反平移

 5)变换过程：四边形 ABCD 的规范化齐次坐标(x,y,1) * 3阶二维变换矩阵

    由旋转后四边形 ABCD 的规范化齐次坐标(x',y',1)可写出顶点坐标：

  A'(6.4,1.2) B'(7.1,4.7) C'(4.3,8.5) D'(2.2,1.2)

6.15 用梁友栋算法裁减线段AB，B点的坐标改为(-2,-1)（P170）

解：以A（3，3）为起点，B(-2，-1)为终点

所以有x1=3，y1=3，x2=-2，y2=-1，wxl=0，wxr=2，wyb=0，wyt=2

构造直线参数方程：

  x=x₁+u(x₂-x₁)     (0<=u<=1)

  y=y₁+u(y₂-y₁)

 把 x1=3，y1=3，x2=-2，y2=-1 代入得

  x=3-5u

  y=3-4u

计算各个p和q值有：

  p₁=x₁-x₂=5    q₁=x₁-wxl=3

  p₂=x₂-x₁=-5   q₂=wxr-x₁=-1

  p₃=y₁-y₂=4    q₃=y₁-wyb=3

  p₄=y₂-y₁=-4   q₄=wyt-y₁=-1

根据，u_k=q_k/p_{k 算出}

   p_k<0时：u₂=1/5 u₄=1/4

   p_k>0时：u₁=3/5 u₃=3/4

  u_max=MAX(0,u₂,u₄)=MAX(0,1/5,1/4)=1/4   （取最大值）

  u_min=MIN(u₁,u₃,1)=MIN(3/5,3/4,1)=3/5   （取最小值）

由于 u_max<u_min ，故此直线AB有一部分在裁减窗口内，

 p_k<0时，将 u_max=1/4  代入直线参数方程

    x=x₁+u(x₂-x₁)

  x=3+1/4*(-5)=3-5/4=7/4

   y=y₁+u(y₂-y₁)

  y=3+1/4*(-4)=2

求出直线在窗口内部分的端点C(7/4,2)

 p_k>0时，将 u_min=3/5 代入直线参数方程

    x=x₁+u(x₂-x₁)

  x=3+3/5*(-5)=0

    y=y₁+u(y₂-y₁)

  y=3+3/5*(-4)=3/5

求出直线在窗口内部分的端点D(0,3/5)。

所以，直线在窗口内部分的端点为C(7/4,2)，D(0,3/5)。

第七章 三维变换及三维观察

概念：几何变换、投影变换、透视投影、平行投影、灭点

平面几何投影的分类以及分类原则

计算：三维几何变换、三视图

7.2 三维几何变换（P180）

    整体比例变换（P182）

    s>1 时，整体缩小，如 2 表示2:1缩小。

    s<1 时，整体放大，如 1/2 表示1:2放大。

7.3.1 正投影

 1.主视图 V（P191）

   4阶三维变换矩阵

 2.俯视图 H

 3.侧视图 W（P192）

习题7 （P213）

7.5 求空间四面体关于点 P(2,-2,2)整体放大2倍的变换矩阵，

    画出变换后的图形。（P182）

解：关于点 P(2,-2,2)整体放大两倍，

变换矩阵：点 P(2,-2,2)平移至原点--比例变换放大两倍--反平移回点 P(2,-2,2)。

变换过程：空间四面体 ABCD 的规范化齐次坐标(x,y,z,1) * 4阶三维比例变换矩阵

  空间四面体 ABCD 的齐次坐标(x',y',z',1/2)转换成规范化齐次坐标

    由比例变换后规范化齐次坐标(x',y',z',1)可写出顶点坐标：

  A'(2,2,-2) B'(2,6,-2) C'(-2,6,-2) D'(2,6,2)

7.7 求空间四面体 ABCD 三视图的变换矩阵（平移矢量均为1），并作出三视图。(P180)

解：

 1)主视图V(P191)

   空间四面体 ABCD 的规范化齐次坐标矩阵 * Y轴方向投影矩阵（不需要平移）

 2)俯视图H(P191)

  Z轴方向投影矩阵 * 绕X轴旋转-90度矩阵 * Z轴方向平移-1矩阵

  空间四面体 ABCD 的规范化齐次坐标矩阵 * 投影变换矩阵（可以直接写出）

 3)侧视图W(P192)

  X轴方向投影矩阵 * 绕Z轴旋转90度矩阵 * X轴方向平移-1矩阵

  空间四面体 ABCD 的规范化齐次坐标矩阵 * 投影变换矩阵（可以直接写出）

 4)画图注意：三个图画在同一坐标系中，点与点的连接关系以及直线的可见性问题。

试题分析

华中科技大学网络学院

2002-2003学年度第一学期

《计算机图形学》考试试题

一、填空

2.帧缓存（P42）：(1024*768*8/8)/1024=768kB

  颜色位面数（P43）：24

  总颜色数：(2^8)^3=2^24=(2^4)*(2^20)=16MB

二、名词解释

三、简答与计算

3.边标志算法（P128）

解：打标记：x1,x2,x3,x4

     填充：x1与x2,x3与x4扫描线区间的像素点。

5.正则集合运算（P88）

解：通常意义下的集合求交运算：C=A∩B   有一条弧立边

     正则集合运算：C=A∩*B   无弧立边

四、计算作图题

1.中点 Bresenham 算法（P109）

解：直线斜率：k=(6-1)/(9-1)=5/8  0<k<1

    计算初值：△x=9-1=8 △y=6-1=5 d=△x-2△y=8-2*5=-2

  取上点：2△x-2△y=2*8-2*5=6  d+2△x-2△y=-2+6=4

  取下点：2△y=2*5=10  d-2△y=4-10=-6

2.改进的有效边表算法（P125）

解：1)边表 ET：交点x（最小y坐标 ymin）

   2)y=4的有效边表 AET：交点x

  3)y=4时的填充交点对：(3.3,4) (5.4,4)

3.求三角形绕B点(2,5)旋转 θ 的变换矩阵。

  求三角形绕B点顺时针旋转90度后各端点坐标。（P125）

解：1)三角形绕B点(2,5)旋转 θ 的变换矩阵

      T=T_t * T_R * T_t^-1

   2)三角形绕B点顺时针旋转90度的变换矩阵，θ=-90°

     T=T_t * T_R * T_t^-1

         变换过程：三角形 ABC 的规范化齐次坐标(x,y,1) * 3阶二维变换矩阵

     P=P * T

      得到三角形 ABC 变换后的规范化齐次坐标(x',y',1)

        可以写出顶点坐标：A'(4.6,2) B'(2,5) C'(0,-1) 

4.用编码裁剪算法裁剪线段P1(0,2)P2(3,3)。要求写出：（164）

  1)窗口边界划分的9个区间的编码原则；

  2)线段端点的编码；

  3)裁剪的主要步骤；

  4)裁剪的输出结果。

解：线段P₁(0,2)P₂(3,3)的编码裁剪

  1)窗口边界划分的9个区间的编码原则；

  2)线段端点的编码；

    P₁ code1=0001,  P₂ code2=0000

  3)裁剪的主要步骤；

    输入 P₁(0,2), P₂(3,3), wyt=4, wyb=1, wxr=4, wxl=1；

    P₁ code1=0001,  P₂ code2=0000；

    code1|code2≠0 不能简取；code1&code2=0 不能简弃；

  求线段 P₁(0,2)P₂(3,3)和 窗口左界wxl=1 的交点，

  把 wxl=1 代入直线方程求出 y=kx+b=(1/3)*x+2=2.3

    交点坐标S(1,2.3)替换端点坐标P₁(0,2)，使P₁坐标为(1,2.3)；

  去掉P₁S线段，输出线段P₁P₂。

  4)裁剪的输出结果：P₁(1,2.3)P₂(3,3)。

5.用改进 Bresenham 算法画直线段的原理，

   推导斜率 K>1 的直线段的扫描转换算法。（P112）

解： k>1  y为最大位移方向

  故有

  误差项 d 的初值为0  d=d+1/k

  当 x 方向走一步 d-1

  令 e=d-0.5

  改进误差项 e 的初值为 e=d-0.5=0-0.5=-0.5；

  避免计算小数和除法，改进误差项 e 用2e△y。

  算法步骤：

  1)输入：Po(x_o,y_o)  P₁(x₁,y₁)_；

  2)计算初值：△x,△y, e=2e△y=2*(-0.5)△y=-△y, x=x_o, y=y_o。

  3)画点：P(x,y)

  4)改进误差项 e 更新：